Traduccion de http://1ucasvb.tumblr.com/post/44489240563/the-continuous-fourier-transform-takes-an-input
La continuidad de la transformada de Fourier tiene una función f de entrada (x) en el dominio del tiempo y la convierte en una nueva función, f (x) en el dominio de la frecuencia.
En la animación, primero, la transformada de Fourier (como normalmente se define en el procesamiento de la señal) se aplica a la función rectangular, devolviendo la función sinc normalizada.
En la segunda animación, la transformación se vuelve a aplicar la función sinc normalizada, y tenemos nuestra función original rect espalda.
Lleva cuatro iteraciones de la transformada de Fourier para volver a la función original. Decimos que es un automorfismo de 4 periódica.
Sin embargo, en este ejemplo particular, y con esta definición particular de la transformada de Fourier, la función rect y la función sinc son inversos exactas una de otra. Con otras definiciones requeriría cuatro aplicaciones, nos encontraremos con un distorsionado rect y la función sinc en los pasos intermedios.
Para simplificar, he optado por esto, así que no tiene funciones intermedias muy altos y muy amplio, o la necesidad de una animación muy largo. En realidad no funciona visualmente, y los detalles se pueden extrapolar fácilmente una vez que la idea principal recibe a través de, creo.
En este ejemplo, también ocurre que no hay componentes imaginarios / seno, por lo que usted está buscando en los componentes reales / coseno solamente.
Se muestra a la izquierda, superpuesta a la curva de tiempo de dominio rojo, verás que hay una curva de cambio de color amarillo. Esta es la aproximación usando los componentes extraídos de dominio de la frecuencia "encontrado" hasta el momento (los cosenos azul barriendo la superficie). La aproximación se calcula sumando todos los componentes, la integración a lo largo de toda la superficie (esto es continua, ¿recuerdas?).
A medida que agrega más y más de los componentes, la aproximación mejora. En algunos casos especiales, es exacta. Para la función de rect, no lo es, y usted tiene algunos artefactos onduladas en algunos lugares (los saltos repentinos, discontinuidades aka). Estas son debidas a un fenómeno de Gibbs, y son la causa principal de timbre artefactos. Como usted probablemente notará, la aproximación es bastante muerto durante la función sinc, como se muestra en la segunda animación.
La ilustración muestra los dominios en el intervalo [-5,5], pero la transformada de Fourier se extiende infinitamente en todas las direcciones, por supuesto.
La superficie muestra aquí no está demasiado lejos del enfoque utilizado en los operadores de Fourier. Si se tiene en cuenta la superficie definida por z = cos (x, y), z = sen (xy), se obtiene el coseno y los operadores de senos de Fourier. La superficie que se ve en la primera animación es z = cos (2πxy) sinc (πy). La transformada de Fourier puede ser pensado como una función multiplicando por estos operadores continuos, y la integración del resultado. Esto puede ser muy cuidadosamente realizó mediante la multiplicación de matrices en los casos discretos. (Drinking game Nuevo:. Tomar una foto cada vez que el álgebra lineal se presenta en cualquier discusión matemática)
Esto también explica por qué la transformada de Fourier es cíclica después de 4 iteraciones: girar 90 ° en cuatro ocasiones te lleva de vuelta a su posición original. Mediante el uso de diferentes ángulos de rotación, se obtiene transformadas de Fourier fraccionaria.